Torroja Caballé, Eduardo (1847-1918).
Matemático y arquitecto español nacido en Tarragona en 1847 y muerto en Madrid en 1918. Fue perito agrónomo y terminó casi simultáneamente el doctorado en la Facultad de Ciencias y los estudios de arquitectura. Ganó primero la cátedra de complementos de álgebra y geometría analítica de la Universidad de Valencia, después de haber sido ayudante en el Observatorio Astronómico de Madrid. En 1876 obtuvo la cátedra de geometría descriptiva de la Universidad de Madrid, momento a partir del cual se dedicó casi en exclusiva al estudio de la geometría sintética. Fue elegido miembro de la Real Academia de Ciencias en 1891, en la que ingresó dos años después con un discurso titulado Reseña de los medios empleados por la Geometría pura actual par alcanzar el grado de generalidad y de simplificación que la distingue de la antigua. Fue consejero de instrucción pública, vicepresidente de la Sociedad Matemática Española y de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias.
Tuvo un carácter modesto, nada ostentoso. De mentalidad conservadora, trabajó en organizaciones católico-sociales, como la Asociación Protectora de Artesanos Jóvenes, pero revolucionó la enseñanza, cambiando radicalmente la forma de estudiar geometría. Se jubiló en 1916. Entre sus primeras publicaciones destaca el artículo Demostraciones de las relaciones más importantes entre los elementos de un triángulo esférico (1876), que expone un método muy sencillo por el cual se pueden deducir las fórmulas fundamentales de la trigonometría esférica que forman el grupo de Bessel; es uno de sus pocos trabajos no geométricos.
En 1879 publicó la Axonometría o perspectiva axonométrica, obra dividida en tres partes: la primera de ellas ofrece las nociones preliminares, la deducción de los sistemas de perspectiva lineal o proyección cónica y de proyección cilíndrica; la segunda, expone los problemas fundamentales de la axonometría; en la tercera se resuelven los problemas expuestos, con la demostración del teorema de Pholke y el de Schlomilch-Wersbach. En el prólogo afirmaba que la obra debía continuar con un segundo volumen, que no llegó posiblemente ni a escribirse, pues Torroja ya había comenzado la transformación de sus curso en otro de geometría proyectiva. El año siguiente, publicó unos apuntes titulados Resumen de algunas lecciones de Geometría descriptiva, dedicados al estudio de las relaciones proyectivas entre figuras de primera o segunda categoría. En ellos, define la geometría descriptiva como la ciencia que tiene por objeto el estudio de las figuras geométricas y la resolución de los problemas sobre las mismas, con ayuda de otras figuras íntimamente relacionadas con ellas. El método de estudio consistía en considerar figuras superpuestas: definía así los problemas imaginarios y después exponía la teoría de la involución.
En 1884 apareció un pequeño folleto suyo sobre las propiedades más elementales de los determinantes; es otra de sus escasas publicaciones sobre temas no geométricos. Su interés reside en que esta teoría acababa de ser introducida en España por José Echegaray. Torroja, por su parte, introdujo en España la geometría proyectiva de Christian von Staudt con el Programa y resumen de las lecciones de Geometría descriptiva, apuntes litografiados en 1888. Aprovechando la sistematización de la geometría proyectiva hecha por el citado autor, constituyó un solo cuerpo armónico de doctrina, que comprendía la geometría proyectiva, los métodos de representación usados en geometría descriptiva y la teoría de líneas y superficies. Por esta época, Torroja publicó algunos artículos, como la Nota relativa a la perpendicularidad de rectas y planos, en la revista dirigida por Zoel García Galdeano, El Progreso Matemático. En 1893 ingresó en la Academia de Ciencias de Madrid, con un discurso sobre la historia reciente de la geometría hasta Ernst Kotter.
El año siguiente apareció un artículo suyo de gran interés científico, titulado Curvatura de las líneas en sus puntos del infinito; la forma en que extiende la noción ordinaria de curvatura, sólo aplicable a los puntos propios, a los del infinito, es la siguiente: dos líneas que tienen en un punto común un contacto de segundo orden, al menos, tienen en él la misma curvatura; y recíprocamente, si dos líneas tienen curvaturas iguales en sendos puntos, pueden ser colocadas sin deformación, de modo que tengan en éstos un contacto de segundo orden, al menos. Así definida, la noción de curvatura tiene en cierto modo carácter proyectivo y puede decirse que dos líneas de un plano tienen la misma curvatura en un punto del infinito, común a ambas. Torroja propone entonces medir la curvatura de un punto impropio de una línea, considerar una parábola o una hipérbola, según que la rama de curva considerada sea parabólica o hiperbólica; hace observar que las parábolas que tienen la misma curvatura en el punto del infinito tienen el mismo parámetro, y que dos hipérbolas con la misma propiedad tiene iguales los productos de sus ejes. Así pues, toma como índice de curvatura, en un punto del infinito, el valor del parámetro común a todas las parábolas que tienen con la curva dada un contacto del segundo orden, o bien el valor del cuadrado del semieje de la hipérbole equilátera que tiene un contacto de tercer orden con la línea considerada. Esta idea fue original y el artículo citado el primero en el que se publicaba. En un trabajo posterior hizo una primera aplicación de dicha idea en la teoría de superficies. Primero determina las cuádricas que tienen un contacto de segundo orden con una superficie cualquiera en uno de sus puntos propios y después estudia el caso en que el punto sea impropio.
En 1904, Torroja publicó la Teoría geométrica de las líneas alabeadas y superficies desarrollables que, como dice Julio Rey Pastor, es un estudio sintético muy original, con la inevitable falta de rigor, de la generación y curvatura de curvas y superficies. Su Tratado de Geometría de la posición y sus aplicaciones a la geometría de la medida (1899), fue la primera obra que incluyó la geometría métrica dentro de la geometría proyectiva, lo que hizo con la ayuda de Miguel Vegas. Los últimos trabajos de Torroja fueron una comunicación presentada al Congreso de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias de Zaragoza, en 1908, sobre la Aplicación de la homografía y la correlación al estudio de las superficies y unos artículos sobre Superficies helicoidales publicados en la Revista de la Sociedad Matemática Española, en los años 1912 y 1913. (Véase Geometría.)
Bibliografía
Fuentes
Artículos y publicaciones de Eduardo Torroja Caballé:
"Demostraciones de las relaciones más importantes entre los elementos de un triángulo esférico", en la Revista de la Sociedad de Profesores de Ciencias. (1876).
Axonometría o perspectiva axonométrica. (Madrid, 1876).
Resumen de algunas lecciones de geometría descriptiva explicada en la Universidad de Madrid, (Madrid, 1880).
Breves nociones sobre los determinantes y su aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado. (Madrid, 1884).
Programa y resumen de las lecciones de Geometría descriptiva, explicadas en la Universidad Central. (Madrid, 1888).
Reseña de los medios empleados por la Geometría pura actual para alcanzar el grado de generalidad y de simplificación que la distingue de la antigua. (Madrid, Real Academia de Ciencias, 1893).
"Nota relativa a la perpendicularidad de rectas y planos", en El Progreso Matemático, nº 2, pp. 108-110, 1892.
"Curvatura de las líneas en sus puntos del infinito", en El Progreso Matemático, nº 4, pp. 177-181, 1894.
"Relación entre los elementos de segundo orden de las secciones producidas en una superficie por planos que pasan por uno de sus puntos del infinito", en El Progreso Matemático, nº 5, pp. 89-93, 111-115, 1895.
Tratado de la geometría de la posición y sus aplicaciones a la geometría de la medida. (Madrid, G. Juste, 1899).
Teoría geométrica de las líneas alabeadas y de las superficies desarrollables. (Madrid, Fortanet, 1904).
Aplicación de la homografía y la correlación al estudio de las superficies. (Madrid, Eduardo Arias, 1908).
Estudios
G. ÁLVAREZ-UDE, José: "Don Eduardo Torroja", en Revista Matemática Hispano-Americana, nº 1, pp. 1-13, 1919.
REY PASTOR, Julio: "Datos biográficos de D. Eduardo Torroja", en Revista Matemática Hispano-Americana, nº 3, pp. 333-337, 1923.
REY PASTOR, Julio: La Matemática Superior. Métodos y problemas del siglo XIX. (Buenos Aires, Iberoamericana, 1951).
Santiago Garma Pons
